1. 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

1
2
3

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

1.1 动态规划解法

dp[i] : 以i为结尾的最长上升子序列

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:

        if not nums: return 0

        dp = [1] * len(nums)
        res = 1 
        for i in range(1, len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
                res = max(res, dp[i])
        return res

1.2 二分查找

基于贪心的思想，并结合二分查找解题。

新建数组 res，用于保存最长上升子序列。对原序列进行遍历，将每位元素二分插入 cell 中。

如果 res 中元素都比它小，将它插到最后
否则，用它覆盖掉比它大的元素中最小元素

总之，思想就是让 res 中存储比较小的元素。这样，res 未必是真实的最长上升子序列，但长度是对的。

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        from bisect import bisect_left

        res = []
        for num in nums:
            index = bisect_left(res, num)

            if index == len(res):
                res.append(num)
            else:
                res[index] = num
     
        return len(res)

2. 俄罗斯套娃娃信封问题

Leetcode 354 俄罗斯套娃娃信封问题

给定一些标记了宽度和高度的信封，宽度和高度以整数对形式 (w, h) 出现。当另一个信封的宽度和高度都比这个信封大的时候，这个信封就可以放进另一个信封里，如同俄罗斯套娃一样。

请计算最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封（即可以把一个信封放到另一个信封里面）。

说明:
不允许旋转信封。

示例:

1
2
3

输入: envelopes = [[5,4],[6,4],[6,7],[2,3]]
输出: 3 
解释: 最多信封的个数为 3, 组合为: [2,3] => [5,4] => [6,7]。

思路：

按照宽度升序、高度降序给信封排序
此时宽度已经是升序状态，可以将问题理解为乱序的高度的最长上升子序列问题。

class Solution:
    def maxEnvelopes(self, envelopes: List[List[int]]) -> int:
        envelopes.sort(key=lambda x: (x[0], -x[1]))

        from bisect import bisect_left

        res = []
        for _, num in envelopes:
            index = bisect_left(res, num)

            if index == len(res):
                res.append(num)
            else:
                res[index] = num

        return len(res)